设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y＇－Y=(4－6x)e－x的一个解，且 (I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．

admin2017-12-21 41

问题设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y＇－Y=(4－6x)e^－x的一个解，且

(I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．

选项

答案(I)2y"+y＇－y=(4—6x)e^－x的特征方程为2λ²+λ－1=0，特征值为λ₁=－1，λ₂=[*] 2y"+y＇－y=0的通解为[*] 令2y"+y＇－y=(4－6x)e^－x的特解为y₀=(ax²+bx)e^－x，代入得a=1，b=0，原方程的通解为[*] 由[*]得y(0)=0，y＇(0)=0，代入通解得C₁=C₂=0，故y=x²e^－x，由y＇=(2x－x²)e^－x=0得x=2，当x∈(0，2)时，y＇＞0；当x＞2时，y＇＜0，则x=2为y(x)的最大值点，故最大距离为d_max=y(2)=4e^－2． [*]

解析

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考研数学三

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