设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-12-29 62

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² =2（x₁，x₂，x₃）[*]（a₁，a₂，a₃）[*]+（x₁，x₂，x₃）[*]（b₁，b₂，b₃）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T）[*]+（x₁，x₂，x₃）（ββ^T）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T+ββ^T）[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=O，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α|²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β|²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ββ^T）≤r（2αα^T）+r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

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∫-22=________．

设(1)求证：若b＞1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．

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设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．若A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式|A+2E|．

设设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．

求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．

若二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22+x23+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是________。

微分方程y″＋y′＝x2的特解形式为__________．

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男，35岁。左下颌第三磨牙区疼痛5周，左侧咬肌区肿痛4周，切开见大量黄色黏稠脓液，X线片可见左侧下颌角区骨质疏松最可能的感染细菌是

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

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