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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．求矩阵A的特征值；判断矩阵A可否对角化．
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．求矩阵A的特征值；判断矩阵A可否对角化．
admin
2022-11-08
64
问题
设A是三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα
1
=α
2
+α
3
，Aα
2
=α
1
+α
3
，Aα
3
=α
1
+α
2
．求矩阵A的特征值；判断矩阵A可否对角化．
选项
答案
因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以α
1
+α
2
+α
3
≠0，由A(α
1
+α
2
+α
3
)=2(α
1
+α
2
+α
3
)，得A的一个特征值为λ
1
=2；又由A(α
1
-α
2
)=-(α
1
-α
2
)，A(α
2
-α
3
)=-(α
2
-α
3
)，得A的另一个特征值为λ
2
=-1．因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以α
1
-α
2
与α
2
-α
3
也线性无关，所以λ
2
=-1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，-1，-1．因为α
1
-α
2
，α
2
-α
3
为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/IXgD777K
0
考研数学三
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