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  3. n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αr，可以用n维向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示．

n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αr，可以用n维向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示．

admin2020-03-02  24
问题 n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αr，可以用n维向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示．
选项 A、如果(Ⅰ)线性无关，则r≤s．
B、如果(Ⅰ)线性相关，则r＞s．
C、如果(Ⅱ)线性无关，则r≤s．
D、如果(Ⅱ)线性相关，则r＞s．
答案A
解析 选项C和D容易排除，因为(Ⅱ)的相关性显然不能决定r和s的大小关系．
    选项A是定理的推论：如果β1，β2…，βt可用α1，α2…，αs线性表示，并且t＞s，则β1，β2…，βt线性相关．
    根据该推论，当向量组(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示时，如果r＞s，则(Ⅰ)线性相关．因此现在(Ⅰ)线性无关，一定有r≤s．
    选项B则是这个推论的逆命题，是不成立的．
    也可用向量组秩的性质来说明选项A的正确性：
    由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，有
    r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s
    又因为(Ⅰ)线性无关，所以r(Ⅰ)＝r．于是r≤s．
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考研数学一

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