设f(x)的导数f’(x)的图象为过原点和点(2，0)的抛物线，开口向下，且f(x)的极小值为2，极大值为6，求f(x)。

admin2016-01-20 37

问题设f(x)的导数f’(x)的图象为过原点和点(2，0)的抛物线，开口向下，且f(x)的极小值为2，极大值为6，求f(x)。

选项

答案设f’(x)=ax²+bx+c(a＜0)。 ∵f’(0)=0，∴c=0。 ∵f’(2)=0，∴4a+2b=0，∴b=-2a。 ∴f’(x)=ax²-2ax。令f’(x)=0[*]驻点x₁=0，x₂=2。又f"(x)=2ax-2a。 ∵f"(0)=-2a＞0，∴x=0为极小值点，∴f(0)=2。 ∵f"(2)=2a＜0，∴x=2为极大值点，∴f(2)=6。 f(x)=∫f’(x)dx=∫(ax²-2ax)dx=[*]x³-ax²+C， [*] ∴f(x)=-x³+3x²+2。

解析

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