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  3. 设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A*时，A可逆．

设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A*时，A可逆．

admin2019-12-26  47
问题 设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A*时，A可逆．
选项
答案【证法1】 由AT=A*知Aij=aij，其中Aij是aij的代数余子式，于是 [*] 又因A≠O，所以至少有一元素aij≠0，故|A|≠0．从而A可逆． 【证法2】 由AA*=|A|E及AT=A*知AA*=AAT=|A|E，若|A|=0，则有AAT=0．设A的行向量为αi(i=1，2，…，n)，则αiαiT=0，即αi=0，于是A=O，这与A是非零矩阵矛盾，故|A|≠0，从而A可逆．
解析
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考研数学三

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