2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0． (1)求f′(χ)； (2)证明：当χ≥0时，e－χ≤f(χ)≤1．

设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0． (1)求f′(χ)； (2)证明：当χ≥0时，e－χ≤f(χ)≤1．

admin2017-09-15  103
问题 设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0．
    (1)求f′(χ)；
    (2)证明：当χ≥0时，e－χ≤f(χ)≤1．
选项
答案(1)(χ＋1)f′(χ)＋(χ＋1)f(χ)－∫0χf(t)dt＝0，两边求导数，得 (χ＋1)f〞(χ)＝－(χ＋2)f′(χ)[*] 再由f(0)＝1，f′(o)＋f(0)＝0，得f′(0)＝－1，所以C＝－1，于是f′(χ)＝－[*]． (2)当χ≥0时，因为f′(χ)＜0且f(0)＝1，所以f(χ)≤f(0)＝1． 令g(χ)＝f(χ)－e－χ，g(0)＝0，g′(χ)＝f′(χ)＋e－χ＝[*]e－χ≥0， 由[*]f(χ)≥e－χ(χ≥0)．
解析
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考研数学二

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