已知数列{x}满足：x0=25，xn=arctanxn—1(n=1，2，3，…)，证明{xn}的极限存在，并求其极限．

admin2018-06-14 65

问题已知数列{x}满足：x₀=25，x_n=arctanx_n—1(n=1，2，3，…)，证明{x_n}的极限存在，并求其极限．

选项

答案设f(x)=arctanx—x，则f(0)=0， [*] 所以f(x)单调减少，当x＞0时f(x)＜f(0)=0，即arctanx＜x，于是有 x_n=arctanx_n—1＜x_n—1．由此可知，数列{x_n}单调递减．又x₀=25，x₁=arctan25＞0，…，且对每个n，都有x_n＞0，根据极限存在准则即知[*]x_n存在．设[*]x_n=a，在x_n=arctanx_n两边取极限得a=arctana，所以a=0，即[*]x_n=0．

解析

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考研数学三

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜f＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．
证明曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．
设k＞0．讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．
设数列{xn}由递推公式(n=1，2，…)确定，其中a＞0为常数，x0是任意正数，试证存在，并求此极限．
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