设I=∮Ly3dx+(3x-x3)dy，其中C为正向圆周x2+y2=a2(a＞0)，问a为何值时I最大?并求出此最大值．

admin2023-03-22 40

问题设I=∮_Ly³dx+(3x-x³)dy，其中C为正向圆周x²+y²=a²(a＞0)，问a为何值时I最大?并求出此最大值．

选项

答案由格林公式得 I=[*](3-3x²-3y²)dxdy=∫₀^2πdθ∫₀^a(3-3ρ²)ρdρ =[*](a＞0) 令dI／da=2π(3a-3a³)，得驻点a=1．而 [*]=6π-18πa²，[*]｜_a=1=-12π＜0，所以a=1是唯一的极大值点，从而是最大值点，最大值为I(1)=3π／2．

解析

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