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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

admin2017-10-25  49
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，
(Ⅰ)求二次型f的秩；
(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为 ｜λE-A｜=(λ-1)2(λ-3)， 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3．于是，A与对角矩阵[*]相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3，且R(E-B)=1， 又因为x+5=λ1+λ2+λ3=5，解得x=0． 由 [*] 得y=-2，z=3． (Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1=[*]，即 P1-1AP1=[*] 把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P2=[*]，即 P2-1BP2=[*] 取 P=P1P2-1=[*] 有 PAP=P2P1-1AP1P2-1=P2[*]P2-1=B.
解析 将A，B分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得A，B相似．
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考研数学一

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