二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为 ①求A．②证明A+E是正定矩阵．

admin2017-10-21 77

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX在正交变换X=QY下化为y₁²+y₂²，Q的第3列为

①求A．②证明A+E是正定矩阵．

选项

答案①条件说明 [*] 于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列[*] 是A的特征值为0的特征向量．记α₁=(1，0，1)^T，它也是A的特征值为0的特征向量． A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α₁正交，即是方程式x₁+x₃=0的非零解． α₂=(1，0，一1)^T，α₃=(0，1，0)^T 是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量．建立矩阵方程 A(α₁,α₂,α₃)=(0，α₂，α₃)，两边做转置，得 [*] 解此矩阵方程 [*] ②A+E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为 ①求A．②证明A+E是正定矩阵．

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设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()．

设为A的特征向量，求A的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．

设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．

设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为__________．

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设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X2+Y2．求：(1)fU(u)；(2)P{U＞D(U)｜U＞E(U))．

f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2一2A=O，该二次型的规范形为________．

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[*]

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Readthefollowingletter.Arethesentences(16-22)"Right"or"Wrong"?Ifthereisnotenoughinformationtoanswer"right"o

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