2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．

设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．

admin2016-09-13  111
问题 设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若
∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．
选项
答案[*]
解析 未知函数含于积分之中的方程称为积分方程．现在此积
分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之．注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之．
将所给方程两边对x求导，有
g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xex．
因g[f(x)]≡x，所以上式成为
xfˊ(x)+f(x)=xex．
以x=0代入上式，由于fˊ(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为
fˊ(x)+f(x)=ex．
解得

由于f(x)在x=0处可导，所以连续．令x→0，得
0=f(0)=1+，
所以=－1，从而知C=1．于是得
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考研数学三

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