过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )。

admin2023-02-21 90

问题过点(3，1)作圆(x-1)²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )。

选项 A、2x+y-3=0
B、2x-y-3=0
C、4x-y-3=0
D、4x+y-3=0
E、以上选项均不正确

答案A

解析直线与圆的位置关系
设(3，1)为点P，圆心为C(1，0)，则设过点P的圆C的切线方程为y-1=k(x-3)。
由圆心到切线的距离等于半径，得

解得k=0或4/3．故切线方程为y=1或4x-3y-9=0。
联立切线与圆的方程，得

可知其中一个切点为(1，1)。
又因为k_PC=

，由直线PC与直线AB相互垂直，所以k_AB=-1/k_PC=-2，即弦AB所在的直线方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0。
【快速得分法】圆的直径式方程：若圆的直径端点A₁(x₁，y₁)，A₂(x₂，y₂)，则圆的方程为
(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0。
设(3，1)为点P，圆心为C(1，0)，以PC为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y-1)=0，整理得x²-4x+y²-y+3=0。
联立两个圆的方程，得