首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． (Ⅰ)证明：β不是A的特征向量； (Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． (Ⅰ)证明：β不是A的特征向量； (Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．
admin
2016-07-22
72
问题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
．
(Ⅰ)证明：β不是A的特征向量；
(Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A
2
β线性无关．
选项
答案
(I)已知Aβ=A(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
． 若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有 Aβ=μβ=μ(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
， 从而得(μ－λ
1
)ξ
1
+(μ－λ
2
)ξ
2
+(μ－λ
3
)ξ
3
=0． ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，从而得λ
1
=λ
2
=λ
3
=μ，这和λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同矛盾．故β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量． (Ⅱ)用线性无关的定义证． 假设存在数k
1
，k
2
，k
3
使得 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0． 由β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
及Aξ
i
=λ
i
ξ
i
，i=1，2，3，代入得 k
1
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)+k
2
(λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
)+k
3
([*])=0， 整理得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
[*])ξ
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
[*])ξ
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
[*])ξ
3
=0． 因ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，上式成立当且仅当 [*] 又λ
i
(i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式 [*]=(λ
3
－λ
2
)(λ
3
－λ
1
)(λ
2
－λ
1
)≠0， 故方程组(*)仅有零解，即k
1
=k
2
=k
3
=0，所以β，Aβ，A
2
β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/GqbD777K
0
考研数学二
相关试题推荐
小篆是中国第一个由国家规定的标准汉字形态，但是书写起来比较慢，不能够适应实际生活中快速书写的要求。随后（）简化了小篆的笔画和书写方式，从而得到广泛地采用。
两工厂各加工480件产品，甲工厂每天比乙工厂多加工4件，完成任务所需时间比乙工厂少10天，设甲工厂每天加工产品x件，则x满足的方程为()。
当前，城市化过程中产生的问题主要有()。
如何避免财产性收入增加过程中可能出现“富者愈富，穷者愈穷”的马太效应，切实保证广大人民群众，特别是中低收入层拥有更多的财产性收入，是目前面临的一个巨大挑战。要让更多的群众拥有财产性收入，需要具备的条件包括()。
月亮上有许多大大小小的环形山，多数科学家认为环形山的成因是()。
A、 B、 C、 D、 C本题的图形规律是每组图形都是由两个直线图形和一个曲线图形组成，并且直线图形都是轴对称图形。
计算二重积分I=(x+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y}.
随机试题
Withanappropriatepronoun:_______triestostealourcompanycarsallthetime.
氯乙酸AS-D萘酚酯酶染色主要用于辅助鉴别急性白血病细胞类型，以下叙述错误的是
A．有利、公正B．权利、义务C．廉洁奉公D．医乃仁术E．等价交换属于医学伦理学基本范畴的是
健康育龄妇女出现恶心、食欲减退等消化道症状，问诊时不应忽视的是
数列10，10，10，1O，13，13，13，17，17的中位数为()。
基本稳定围岩的特点是()。
董事长由股东大会选举产生。()
下列各项中，不是声誉风险管理体系应当重点强调的内容是()。
根据《行政复议法》的规定，下列情形中，公民、法人或者其他组织可以申请行政复议的有()。
()是指测量仪器在性能试验或进行检定、校准、比对时的使用条件。
最新回复
(
0
)
