设f(χ)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(χ)dχ≥k∫01f(χ)dχ．

admin2019-08-12 50

问题设f(χ)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫₀^kf(χ)dχ≥k∫₀¹f(χ)dχ．

选项

答案∫₀^kf(χ)dχ－k∫₀¹f(χ)dχ＝∫₀^kf(χ)dχ－k[∫₀^kf(χ)dχ＋∫_k¹f(χ)dχ] ＝(1－k)∫₀^kf(χ)dχ－k∫_k¹f(χ)dχ＝k(1－k)[f(ξ₁)－f(ξ₂)] 其中ξ₁∈[0，k]，ξ₂∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(χ)单调减少，所以∫₀^kf(χ)dχ－k∫₀¹f(χ)dχ＝k(1－k)[f(ξ₁)－f(ξ₂)]≥0，故∫₀^kf(χ)dχ≥k∫₀¹f(χ)dχ．

解析

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