若函数f(χ)在[0，1]上二阶可微，且f(0)＝f(1)，｜f〞(χ)｜≤1，证明：｜f′(χ)｜≤在[0，1]上成立．

admin2017-09-15 135

问题若函数f(χ)在[0，1]上二阶可微，且f(0)＝f(1)，｜f〞(χ)｜≤1，证明：｜f′(χ)｜≤

在[0，1]上成立．

选项

答案由泰勒公式得 f(0)＝f(χ)＋f′(χ)(0－χ)＋[*](0－χ)²，其中ξ介于0与χ之间； f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋[*](1－χ)²，其中η介于1与χ之间，两式相减得f′(χ)[*](1－χ)²，从而｜f′(χ)｜≤[*] 由χ²≤χ，(1－χ)²≤1－χ得χ²＋(1－χ)²≤1，故｜f′(χ)｜≤1．

解析

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考研数学二

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求下列各函数的二阶导数：(1)y＝ln(1＋x2)(2)y＝xlnx(3)y＝(1＋x2)arctanx(4)y＝xex2
曲线与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．
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