2. 考研
  3. 在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

admin2022-10-27  5
问题 在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．
选项
答案I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)·acosx]dx=π-4a+4a3/3． 由I’(a)=4(a2-1)=0，得a=1， I’’(a)=8a，由I’’(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点， 因为a=1是I(a)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．
解析
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考研数学一

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