已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2018-12-29 50

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)^T是与3对应的特征向量；—1也是A的特征值，(1，—1，1)^T是与—1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x₁，x₂，x₃)^T，则有 (x₁，x₂，x₃)[*]=0，(x₁，x₂，x₃)[*]=0，由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，—1)^T。 [*] 因此 x^TAx=[*](x₁²+10x₂²+x₃²+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₂)，令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TΛy=3y₁²—y₃²。

解析

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考研数学一

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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

考研数学一

证明级数收敛，且其和数小于1．

设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令求证：　　(1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数．(2)

设总体X服从指数分布，其密度函数为其中λ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本．求的最大似然估计量；

设η是非齐次方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组AX=0的基础解系．令η0=η，η1=ξ1+η，η2=ξ2+η，…，ηn－r=ξn－r+η*．证明：非齐次方程的任一解η都可表示成η=μ0η0+μ1η1+μ2η2+…+μ

设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设三元非齐次方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，－1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T．求该非齐次方程组的通解．

设D为平面区域：x2+y2≤4，则

已知A＝，则Ax＝0解空间的规范正交基是______．

设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．

为进一步加强公安队伍纪律作风建设，公安部于2013年出台“三项纪律"，以更高的要求、更严的纪律，规范公安民警行为，建设过硬队伍，回应人民群众新期待。这“三项纪律”包括公安民警()。

肾结核的血尿表现为

下列哪一条不属于手足疔疮的病机

某项目有A、B两个建设方案，基准收益率ic=12%，两方案的净现值等有关指标如表12-7所示。已知(P/A,10%,6)=4.355、(P/A,10%,10)=6.145，则(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　表1

以航运公司为主体，签发联运提单，与航线两端的内陆运输部门合作，开展联运业务的国际多式联运的形式为()。

认股权证的价格杠杆作用，表现为认股权证价格要比其可选购的股票价格的上涨或下跌速度慢得多。(　　)

（）的现象属于联觉现象。

广义的劳动法则是指()以及与劳动关系密切联系的其他一些社会关系的法律规范的总和。

已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

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设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令求证： (1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数．(2)

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设η*是非齐次方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组AX=0的基础解系．令η0=η*，η1=ξ1+η*，η2=ξ2+η*，…，ηn－r=ξn－r+η*．证明：非齐次方程的任一解η都可表示成η=μ0η0+μ1η1+μ2η2+…+μ

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设三元非齐次方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，－1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T．求该非齐次方程组的通解．

设D为平面区域：x2+y2≤4，则

已知A＝，则Ax＝0解空间的规范正交基是______．

设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．

为进一步加强公安队伍纪律作风建设，公安部于2013年出台“三项纪律"，以更高的要求、更严的纪律，规范公安民警行为，建设过硬队伍，回应人民群众新期待。这“三项纪律”包括公安民警()。

肾结核的血尿表现为

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某项目有A、B两个建设方案，基准收益率ic=12%，两方案的净现值等有关指标如表12-7所示。已知(P/A,10%,6)=4.355、(P/A,10%,10)=6.145，则( )。 表1

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设η是非齐次方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组AX=0的基础解系．令η0=η，η1=ξ1+η，η2=ξ2+η，…，ηn－r=ξn－r+η*．证明：非齐次方程的任一解η都可表示成η=μ0η0+μ1η1+μ2η2+…+μ

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