2. 考研
  3. 如图由y＝0，x＝8，y＝x2围成一曲边三角形OAB，在曲边上求一点，使得过此点所作y＝x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大． 　

如图由y＝0，x＝8，y＝x2围成一曲边三角形OAB，在曲边上求一点，使得过此点所作y＝x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大． 　

admin2016-01-25  61
问题 如图由y＝0，x＝8，y＝x2围成一曲边三角形OAB，在曲边上求一点，使得过此点所作y＝x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大．
　
选项
答案设切点为(x，y)．过曲线上点(x，y)的切线方程为 Y－y＝y′(X－x)． 将y＝x2，y′＝2x代入得 Y＝y—x2＝2x(X—x)． 此切线与X＝8及Y＝0的交点的纵坐标与横坐标分别为 Y＝2x(8一x)＋x2，X＝[*]， 则切线与OA，AB所围成的三角形面积为 S(x)＝[*][2x(8一x)＋x2]． 令 S′(x)＝[*]及x＝16(舍去)． 易验证，当x＝[*]＜0，因而S(x)取最大值，则所求的点为([*])．
解析 设切点(x，y)，求出切线方程Y—x2＝y′(X—x)，求出切线与直线X＝8及与Y＝0(横轴)的交点．写出用x，y表示的面积表达式，最后求出x，y为何值时此面积最大．
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考研数学三

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