2. 考研
  3. 设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．

设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．

admin2019-05-08  95
问题 设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．
选项
答案令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du． 当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故 ∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du， 由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=[*]arctanx2,两边对x求导，得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=[*]， 即 2∫x2xf(u)du=[*]+xf(x)． 令x=1，得2∫12f(u)du=[*]]．故∫12f(x)dx=[*]．
解析
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考研数学三

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