微分方程y"+y’=x2的特解形式为________．

admin2019-08-11 61

问题微分方程y"+y’=x²的特解形式为________．

选项

答案y^*=x(ax²+bx+c)

解析先求出对应齐次方程的特征方程的根r₁ ，r₂ ，再根据方程右端所含的自由项f(x)的形式设出特解y^*的形式．
(1)若f(x)=P_m(x)e^λx ，则特解y^*=x^kQ_m(x) e^λx ，其中Q_m(x)是与P_m(x)同次的待定多项式

(2)若f(x)=e^λx[P_l(x) cosωx+P_n(x) sinωx]，则设特解为
y^*=x^ke^λx[R_m⁽¹⁾(x) cosωx+R_m⁽²⁾(2) (x) sinωx]，
其中R_m⁽¹⁾(x)，R_m⁽²⁾(x)是m次多项式，m=max{1，n}，

对应齐次方程的特征方程为
r²+r=r(r+1)=0，
故r=0为其一特征根，而
f(x)=x²=x²e^0x ，
即f(x)中的指数为0．因指数0为其特征方程的单根，故特解形式为
y^*=x(ax²+bx+c)，
其中a，b，c为待定的系数．

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