2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（—1，2，—1）T，α2=（0，—1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（—1，2，—1）T，α2=（0，—1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

admin2020-03-10  57
问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（—1，2，—1）T，α2=（0，—1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。
选项
答案（Ⅰ）因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值，α=（1，1，1）T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k（1，1，1）T，其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k1α1+k2α2=k1（—1，2，—1）T+k2（0，—1，1）T，其中k1，k2是不全为零的常数。 （Ⅱ）因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。 由施密特正交化法，取 β1=α1，β2=α2—[*] 再将α，β1，β2单位化，得 [*] 令Q=（η1，η2，η3），则Q—1=QT，且 [*]
解析
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考研数学三

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