（2008年真题）当x≥0时，函数f(x)可导，有非负的反函数g(x)，且恒等式∫1f(x)g(t)dt=x2-1成立，则函数f(x)=[ ]。

admin2015-04-14 39

问题（2008年真题）当x≥0时，函数f(x)可导，有非负的反函数g(x)，且恒等式∫₁^f(x)g(t)dt=x²-1成立，则函数f(x)=[ ]。

选项 A、2x+1
B、2x-1
C、x²+1
D、x²

答案B

解析本题考查变限定积分求导、反函数概念和定积分性质。由∫₁^f(x)g(t)dt=x²-1，得f’(x)g(f(x))=2x，又g(f(x))=x，所以f’(x)=2，即f(x)=2x+C。又由∫₁^f(x)g(t)=x²-1知∫₁^f(1)(t)dt=1²-1=0，即f(1)=1，所以C=-1，故又由∫₁^f(x)g(t)dt=x²-1知∫₁^f(x)g(t)dt=1²-1=0，即f(1)=1，所以C=-1，故f(x)=2x-1。故正确选项为B。

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