设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2016-07-11 117

问题设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

选项

答案证明：因为B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B，所以B是n阶实对称矩阵，构造二次型x^TBx，那么 x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)． [*]≠0，恒有x^Tx＞0，(Ax)^T(Ax)≥0，因此，λ＞0时，[*]≠0，有x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)＞0．二次型为正定型，故B为正定矩阵．

解析

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