当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n： (Ⅰ) (Ⅱ) (1+tan2x)sinx－1； (Ⅲ) (Ⅳ)∫0xsint.sin(1－cost)2dt．

admin2017-05-31 58

问题当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：
(Ⅰ)

(Ⅱ) (1+tan²x)^sinx－1；
(Ⅲ)

(Ⅳ)∫₀^xsint.sin(1－cost)²dt．

选项

答案(Ⅰ)[*]－1～x⁴－2x²～－2x² (x→0)，即当x→0时[*]－1是x的2阶无穷小，故n=2． (Ⅱ)(1+tan²x)^sinx－1～ln[(1+tan²x)^sinx－1+1] =sinxln(1+tan²x)～sinxtan²x～x.x²=x³ (x→0)，即当x→0时(1+tan²x)^sinx－1是x的3阶无穷小，故n=3． (Ⅲ) 由[*]是x的4阶无穷小，即当x→0时[*]是x的4阶无穷小，故n=4． [*] 即当x→0时∫₀^xsintsin(1－cost)²dt是x的6阶无穷小，故n=6．

解析

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考研数学二

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本题为“1x”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将n换为x转化为函数极限进行计算．一般[*]
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