设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0，并有反函数g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，则f(x)等于( )．

admin2015-09-06 67

问题设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0，并有反函数g(x)，若∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x，则f(x)等于( )．

选项 A、(2+x)e^x一3
B、(2+x)e^x+C
C、(1+x)e^x一1
D、(3+x)e^x+C

答案C

解析两边求导，有
f’(x)g(f(x))=(2x+x²)e^x，
即 f’(x)=(2+x)e^x，
则 f(x)=∫(2+x)e^xdx=(1+x)e^x+C．
又f(0)=0得C=一1，于是f(x)=(1+x)e^x一1．

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