设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)．求|5E+A|．

admin2018-05-21 54

问题设A为n阶非零矩阵，且A²=A，r(A)=r(0＜r＜n)．求|5E+A|．

选项

答案因为A²=A[*]A(E－A)=O[*]r(A)+r(E－A)=n[*]A可以对角化．由A²=A，得|A|．|E－A|=0，所以矩阵A的特征值为λ=0或1．因为r(A)=r且0＜r＜n，所以0和1都为A的特征值，且λ=1为r重特征值，λ=0为n－r重特征值，所以5E+A的特征值为λ=6(r重)，λ=5(n－r重)，故|5E+A|=5^n－r×6^r．

解析

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