设求区间(－1，+∞)上的fˊ(x)，并由此讨论区间(－1，+∞)上f(x)的单调性．

admin2018-07-23 97

问题设

求区间(－1，+∞)上的fˊ(x)，并由此讨论区间(－1，+∞)上f(x)的单调性．

选项

答案 [*] 下面求区间(－1，+∞)上x≠0处的fˊ(x)： [*] 为讨论fˊ(x)的符号，取其分子记为g(x)，即令 g(x)=(1+x)ln²(1+x)－x²，有g(0)=0． gˊ(x)=2ln (1+x)+ ln²(1+x)－2x，有gˊ(0)=0．当－1＜x＜+∞，但x≠0时， [*] 由泰勒公式有当－1＜x＜+∞，但x≠0时， [*] ξ介于0与x之间．所以当－1＜x＜+∞但x≠0时，fˊ(x)＜0．又由[*]所以fˊ(x)＜0(－1＜x＜+∞)，由定理：设f(x)在区间(a，b)内连续且可导，导数fˊ(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内为严格单调减少．故f(x)在区间(－1，+∞)上单调递减．

解析

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