在平面直角坐标系中，a=(x，3y—3)，b=(4x，y+1)，a⊥b，动点P(x，y)的轨迹为E．是否存在过原点的直线，使得直线与轨迹E的两个交点之间的距离为1？若存在，请写出直线的方程，若不存在，请说明理由．

admin2019-01-31 14

问题在平面直角坐标系中，a=(x，3y—3)，b=(4x，y+1)，a⊥b，动点P(x，y)的轨迹为E．
是否存在过原点的直线，使得直线与轨迹E的两个交点之间的距离为1？若存在，请写出直线的方程，若不存在，请说明理由．

选项

答案因为轨迹E为以原点为中心的椭圆，所以过原点的直线与椭圆相交于两点．根据椭圆的性质知，过原点的直线所截得的弦长最短即为与短轴重合时的情况．因为椭圆的短轴长为[*]，故最短的弦长应为[*]＞1，所以不存在这样的直线，使得直线与轨迹E的两个交点之间的距离为1．

解析

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在平面直角坐标系中，a=(x，3y—3)，b=(4x，y+1)，a⊥b，动点P(x，y)的轨迹为E．是否存在过原点的直线，使得直线与轨迹E的两个交点之间的距离为1？若存在，请写出直线的方程，若不存在，请说明理由．

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