设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则A与C( )

admin2019-08-12 50

问题设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则A与C( )

选项 A、等价但不相似。
B、合同但不相似。
C、相似但不合同。
D、等价，合同且相似。

答案D

解析对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设
AE_ij=B，E_ijB=C，
故可得 C=E_ijB=E_ijAE_ij。
因E_ij=E_ij^T=E_ij^—1，故
C=E_ijAE_ij=E_ij^—1AE_ij=E_ij^TAE_ij，
所以A与C等价，合同且相似。故选D。

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