设随机变量X的分布函数为F(x)=0.4Ф(x/2+1)+0.6Ф(x+2)，则D(x)=( )．

admin2022-12-09 62

问题设随机变量X的分布函数为F(x)=0.4Ф(x/2+1)+0.6Ф(x+2)，则D(x)=( )．

选项 A、1.1
B、2.2
C、2
D、4

答案B

解析随机变量X的密度函数为f(x)=0.2φ(x/2+1)+0.6φ(x+2)，
E(X)=∫_-∞^+∞xf(x)dx=0.2∫_-∞^+∞xφ(x/2+1)+0.6∫_-∞^+∞xφ(x+2)dx
=0.8∫_-∞^+∞[(x/2+1)-1]φ(x/2+1)d(x/2+1)+0.6∫_-∞^+∞[(x+2)-2]φ(x+2)d(x+2)
=0.8∫_-∞^+∞(x-1)φ(x)dx+0.6∫_-∞^+∞(x-2)φ(x)dx
=-0.8∫_-∞^+∞φ(x)dx-1.2∫_-∞^+∞φ(x)dx=-2；
E(X²)=∫_-∞^+∞f(x)dx=0.2∫_-∞^+∞x²φ(x/2+1)dx+0.6∫_-∞^+∞x²φ(x+2)dx
=1.6∫_-∞^+∞[(x/2+1)-1]²φ(x/2+1)d(x/2+1)+0.6∫_-∞^+∞[(x+2)-2]²φ(x+2)d(x+2)
=1.6∫_-∞^+∞(x-1)²φ(x)dx+0.6∫_-∞^+∞(x-2)²φ(x)dx
=1.6∫_-∞^+∞(x²+1)φ(x)dx+0.6∫_-∞^+∞(x²+4)φ(x)dx=2.2∫_-∞^+∞x²φ(x)dx+4

故D(X)=E(X²)-[E(X)]²=2.2，应选(B)．

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考研数学三

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