2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 ①若A可逆，则B可逆； ②若B可逆，则A+B可逆； ③若A+B可逆，则AB可逆；④A-E恒可逆。 上述命题中，正确的个数为( )

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 ①若A可逆，则B可逆； ②若B可逆，则A+B可逆； ③若A+B可逆，则AB可逆；④A-E恒可逆。 上述命题中，正确的个数为( )

admin2017-03-08  77
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则
①若A可逆，则B可逆；    ②若B可逆，则A+B可逆；
③若A+B可逆，则AB可逆；④A-E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为(    )
选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。
答案D
解析 由AB=A+B，有(A-E)B=A。若A可逆，则
    ｜(A-E)B｜=｜A-E｜×｜B｜=｜A｜≠0，
  所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。
    同命题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题②
    正确。
    因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题③正确。
    对于命题④，用分组因式分解，即
    AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E，
  所以得A-E恒可逆，命题④正确。
    所以应选D。
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考研数学一

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