已知sinx是f(x)的一个原函数，则∫xf’(x)dx=( )．

admin2019-06-11 22

问题已知sinx是f(x)的一个原函数，则∫xf’(x)dx=( )．

选项 A、xcosx+sinx+C
B、xcosx－sinx+C
C、xsinx+cosx+C
D、xsinx－cosx+C

答案B

解析对于∫xf’(x)dx，被积函数中含有f’(x)，通常是先考虑利用分部积分公式
∫xf’(x)dx=xf(x)－∫f(x)dx．(*)
又由于sinx为f(x)的一个原函数，由原函数定义可得
f(x)=(sinx)’=cosx，
∫f(x)dx=sinx+C₁，
代入上述公式(*)，可得
∫xf’(x)dx=cosx－sinx+C．
这里C=－C₁，因为C₁，C都为任意常数，因此上述写法是允许的．故选B．

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