设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2017-01-14 69

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且f_u(u，v)+f_v(u，v)=sin(u+v)e^u+v，求y(x)=e^-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案由y(x)=e^-2xxf(x，x)，有 y’(x)=-2e^-2xf(x，x)+e^-2x[f’₁(x，x)+f’₂(x，x)]，由f_u(u，v)+f_v(u，v)=sin(u+v)e^u+v可得 f’₁(x，x)+f’₂(x，x)=(sin2x)e^2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e^-2x[∫sin2x.e^2xdx+C]，由分部积分公式，可得 ∫sin2x.e^2xdx=[*](sin2x-cos2x)e^2x，所以 y(x)=[*](sin2x-cos2x)+Ce^-2x。

解析

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