2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期

设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期

admin2018-09-20  80
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：
    (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)；
    (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0；
    (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx=0．
选项
答案(1)[*]=f(a+T)一f(a)=0， 故 ∫aa+Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx|a=0=∫0Tf(x)dx． (2)∫0xf(t)dt以T为周期[*]∫0x+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt=∫0x+Tf(t)dt[*]∫0Tf(t)dt=0． (3)由∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，易知此命题成立．
解析
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考研数学三

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