设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．

admin2020-03-05 17

问题设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e^2ξ－η=(e^a+e^b)[f’(η)+f(η)]．

选项

答案令φ(x)=e^xf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得 [*]=e^η[f’(η)+f(η)]，再由f(a)=f(b)=1，得[*]=e^η[f’(η)+f(η)]，从而[*]=(e^a+e^b)e^η[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e^2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得(e^2b－e^2a)／(b－a)=2e^2ξ，即2e^2ξ=(e^a+eb)e^η[f’(η)+f(η)]，或2e^2ξ－η=(e^a+e^b)[f’(η)+f(η)]．

解析

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考研数学一

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