证明方程3ax2+2bx一(a+b)=0在区间(0，1)内至少有一个根．

admin2015-12-22 41

问题证明方程3ax²+2bx一(a+b)=0在区间(0，1)内至少有一个根．

选项

答案直接对方程左边的函数使用零点定理是行不通的，这是因为该函数含有参数a，b，其端点值的符号不好确定．但可使用中值定理证之．为此将方程左边的函数视为 f(x)=ax³+bx²一(a+b)x 的导数，对f(x)使用罗尔定理，本例即可得证．证设 f(x)=ax³+bx²一(a+b)x，于是 f′(x)=3ax²+2bx一(a+b)．显然f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0．根据罗尔定理知，在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=0，即方程 3ax²+2bx一(a+b)=0 在(0，1)内至少有一个根．

解析

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考研数学二

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