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  3. 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形．

求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形．

admin2013-03-29  64
问题 求一个正交变换，化二次型
f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3为标准形．
选项
答案二次型的矩阵是[*] 其特征多项式为 [*]=λ2(λ－9)， 所以A的特征值是λ1=λ2=0，λ3=9． 对于λ1=λ2=0，由(0E-A)x=0，即[*] 得到基础解系α1=(2，1，0)T，α2=(-2，0，1)T，即为属于特征值A=0的特征向量． 对于λ3=9，由(9E-A)x=0，即[*] 得到基础解系α3=(1，-2，2)T． 由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对α1，α2正交化． β1=α1=(2，1，0)T， β2=α2-(α2β1)/(β1,β1)β1=1/5(-2,4,5)T． 把β1，β2，α3单位化，有 γ1=[*] γ2=[*] γ3=[*] 那么经正交变换 [*] 二次型f化为标准形f=9y32．
解析
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考研数学三

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