曲面x2+y2+z2=2z之内及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V=

admin2017-08-07 6

问题曲面x²+y²+z²=2z之内及曲面z=x²+y²之外所围成的立体的体积V=

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析利用柱面坐标计算三重积分。
立体体积V=∫∫∫dV，联立

消z得D_xy：Tx²+y²≤1，
由x²+y²+z²=2z，得到x²+y²+(z-1)²=1，(z-1)²=1-x²-y²，z-1

≤z≤x²+y²，即1-

≤z≤r²，积分区域Ω在柱面坐标下的形式为

dV=rdrdθdz，写成三次积分。
先对z积分，再对r积分，最后对θ积分，即得选项D。

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