解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

admin2021-11-09 63

问题解下列微分方程：
(Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件

的特解；
(Ⅱ)y〞＋a²y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
(Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ²－7λ＋12＝0，它有两个互异的实根：λ₁＝3，λ₂＝4，所以，其通解为[*] 由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y^*(χ)＝Aχ＋B．代入方程，可得A＝[*]，B＝[*]，所以，原方程的通解为y(χ)＝[*] 代入初始条件，则得[*] 因此所求的特解为y(χ)＝[*] (Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为[*](χ)＝C₁cosaχ＋C₂sinaχ．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbχ＋Bsinbχ，将其代入原方程，则得 A＝[*]，B＝0．所以，通解为y(χ)＝[*]cosbχ＋C₁cosaχ＋C₂sinaχ，其中C₁，C₂为任意常数． ②当a＝b时，特解的形式应为Aχcosaχ＋Bχsinaχ，代入原方程，则得 A＝0．B＝[*]．原方程的通解为y(χ)＝[*]χsinaχ＋C₁cosaχ＋C₂sinaχ，其中C₁，C₂为任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ³＋λ²＋λ＋1＝0，分解得(λ＋1)(λ²＋1)＝0，其特征根为λ₁＝－1，λ_2，3＝±i，所以方程的通解为 y(χ)＝C₁e^－χ＋C₂cosχ＋C₃sinχ，其中C₁，C₂，C₃为任意常数．

解析

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考研数学二

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解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

考研数学二

设z=z(x，y)是由确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f"(x)-f(x)=x，则=()

设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0)=0,证明：存在ε∈[0,1]，使得f’(ε)=.

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,,b)内二阶连续可导，证明：存在∈（a,b),使得.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c为（0,1）内任一点。证明：|f’(c)|≤.

证明：,其中a﹥0为常数。

飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上点（x0,0)处发射一枚导弹向飞机飞去（x0﹥0），若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v.求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件。

设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.证明：.

设A=（aij)n×n是非零矩阵，且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等。证明：|A|≠0.

设A=(a1,a2,...,am)其中a1,a2,...,am是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,...,km,皆有k1a1+k2a2,...+kmam≠0,则（）。

应避免与氨基糖苷类抗生素合用的利尿药是

患者，40岁，近3日白带多，伴外阴痒就诊，查外阴黏膜充血，阴道壁充血，分泌物黄色，中等量，呈泡抹状，宫颈充血。此病人应进行的辅助检查是

合同法对合同纠纷解决的规定是按照调解—仲裁—诉讼的步骤依次进行。(　　)

企业购入原材料时，在货款已经支付，材料尚未到达或验收入库的情况下，要编制的会计分录涉及的会计科目有（　　）。

年终董事会决议，应支付投资者股利40000元，该会计分录涉及的账户有()。

当前，面对就业的压力，一些毕业生纷纷打出“低工资就业”、“零工资就业”招牌。面对这种现象，你如何看待？

CharlesDickens,WilliamMakepeaceThackeray,andBrontsisterswereall______.

Tworelatedparadoxesalsoemergefromthesamebasicconceptionoftheaestheticexperience.Thefirstwasgivenextendedconsi

解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

考研数学二

设z=z(x，y)是由确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f"(x)-f(x)=x，则=()

设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0)=0,证明：存在ε∈[0,1]，使得f’(ε)=.

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,,b)内二阶连续可导，证明：存在∈（a,b),使得.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c为（0,1）内任一点。证明：|f’(c)|≤.

证明：,其中a﹥0为常数。

飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上点（x0,0)处发射一枚导弹向飞机飞去（x0﹥0），若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v.求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件。

设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.证明：.

设A=（aij)n×n是非零矩阵，且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等。证明：|A|≠0.

设A=(a1,a2,...,am)其中a1,a2,...,am是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,...,km,皆有k1a1+k2a2,...+kmam≠0,则（）。

应避免与氨基糖苷类抗生素合用的利尿药是

患者，40岁，近3日白带多，伴外阴痒就诊，查外阴黏膜充血，阴道壁充血，分泌物黄色，中等量，呈泡抹状，宫颈充血。此病人应进行的辅助检查是

合同法对合同纠纷解决的规定是按照调解—仲裁—诉讼的步骤依次进行。( )

企业购入原材料时，在货款已经支付，材料尚未到达或验收入库的情况下，要编制的会计分录涉及的会计科目有（ ）。

年终董事会决议，应支付投资者股利40000元，该会计分录涉及的账户有()。

当前，面对就业的压力，一些毕业生纷纷打出“低工资就业”、“零工资就业”招牌。面对这种现象，你如何看待？

CharlesDickens,WilliamMakepeaceThackeray,andBrontsisterswereall______.

Tworelatedparadoxesalsoemergefromthesamebasicconceptionoftheaestheticexperience.Thefirstwasgivenextendedconsi

合同法对合同纠纷解决的规定是按照调解—仲裁—诉讼的步骤依次进行。(　　)

企业购入原材料时，在货款已经支付，材料尚未到达或验收入库的情况下，要编制的会计分录涉及的会计科目有（　　）。