求下列旋转体的体积V： (I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体： (II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

admin2017-08-18 0

问题求下列旋转体的体积V：
(I)由曲线y＝x²，x＝y²所围图形绕x轴旋转所成旋转体：
(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

选项

答案(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 [*] [*] (Ⅱ)如图3．3，所求体积为 V＝2π∫₀^2πayxdx＝2π∫₀^2πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt ＝2πa³∫₀^2π(1—cost)²(t—sint)dt ＝2πa³∫₀^2π(1—cost)²tdt—2πa³∫_-π^π(1—cost)²sintdt ＝2πa³∫₀^2π(1—cost)²tdt [*][1—cos(u＋π)]²(u＋π)du ＝2πa³∫_-π^π(1＋cosu)²udu＋2π²a³∫_-π^π(1＋cosu)²du ＝4π²a³∫₀^π(1＋cosu)²du＝4π²a³∫₀^π(1＋2cosu＋cos²u)du ＝4π²a³(π＋[*])＝6π³a³． [*]

解析

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考研数学一

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求下列旋转体的体积V： (I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体： (II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

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