设曲线段(0≤t≤2π)，平面区域D由曲线段L与x轴所围成． (Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积； (Ⅱ)求

admin2021-03-16 70

问题设曲线段

(0≤t≤2π)，平面区域D由曲线段L与x轴所围成．
(Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积；
(Ⅱ)求

选项

答案(Ⅰ)V_x＝π∫₀^4πy²dx＝π∫₀^2π2²2(1－cost)²·2(1－cost)dt ＝8π∫₀^2π(1－cost)³dt＝8π∫₀^2π(2sin²[*])³dt＝128π∫₀^2πsin⁶[*] ＝128π∫₀^πsin⁶tdt＝256π[*]sin⁶tdt＝256π[*]＝40π² 取[x，x＋dx][*][0，4π]，dV_y＝2πx·y·dx，则 V_y＝2π∫₀^4πxydx＝2π∫₀^2π2(t－sint)·2²(1－cost)²dt[*]2π∫_－π^π2(u＋π＋sinu)·2²(1＋cosu)²du ＝16π²∫_－π^π(1＋cosu)²du＝32π²∫₀^π(1＋cosu)²du ＝32π²∫₀^π(2cos²[*])²du＝256π²[*]cos⁴udu ＝256π²·[*]＝48π³． (Ⅱ)设L：y＝y(x)(0≤x≤4π)，则 [*]＝∫₀^4πdx[*](x＋y)dy＝∫₀^4π(xy＋[*])dx ＝∫₀^2π[2(t－sint)·2(1－cost)＋2(1－cost)²]·2(1－cost)dt ＝8∫₀^2π(t－sint)(1－cost)²dt＋4∫₀^2π(1－cost)³dt，由∫₀^2π(t－sint)(1－cost)²dt[*]∫_－π^π(u＋π＋sinu)(1＋cosu)²du ＝2π∫₀^π(1＋cosu)²du＝2π∫₀^π(2 cos²[*])²du ＝16π[*]cos⁴udu＝16π[*] ＝3π²， ∫₀^2π(1－cost)³dt＝∫₀^2π(2 sin²[*])³dt＝16∫₀^πsin⁶tdt [*] 故[*]dxdy＝8·3π²＋4·5π＝24π²＋20π．

解析

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考研数学二

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