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设函数f(x)在(一a,a)(A>0)内连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0. 求证:对任意给定的x(0<x<a),存在0<θ<1,使∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(θx)];
设函数f(x)在(一a,a)(A>0)内连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0. 求证:对任意给定的x(0<x<a),存在0<θ<1,使∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(θx)];
admin
2016-12-09
61
问题
设函数f(x)在(一a,a)(A>0)内连续,在x=0处可导,且f’(0)≠0.
求证:对任意给定的x(0<x<a),存在0<θ<1,使∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt=x[f(θx)一f(θx)];
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(x)dt+∫
0
-x
f(t)dt,则F(x)在[0,x]上可微,且F(0)=0,对F(x)在[0,x]上使用拉格朗日中值定理,得到θx(0< θ<1),使F(x)一F(0)=F’(θx).x,即 ∫
0
x
f(t)dt+∫
0
-x
f(t)dt=x[f(θx)一f(-θx). ①
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/BlbD777K
0
考研数学二
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