2. 考研
  3. 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明： (1)λ≠0； (2)为A一1的特征值，且x为对应的特征向量； (3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．

设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明： (1)λ≠0； (2)为A一1的特征值，且x为对应的特征向量； (3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．

admin2017-04-23  89
问题 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：
(1)λ≠0；
(2)为A一1的特征值，且x为对应的特征向量；
(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．
选项
答案若λ=0，则有|0E一A|=0，即(一1)n|A|=0，[*]|A|=0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Ax=λx两端右乘A一1，得λA一1x=x，两端同乘[*]为A一1的一个特征值，且x为对应的特征向量；因A一1=|A|A*，代入A一1x=[*]为A*的一个特征值，且x为对应的特征向量．
解析
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考研数学二

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