设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

admin2017-01-14 106

问题设A，B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立；
(Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则｜λE-B｜=｜λE-P^-1AP｜=｜P^-1λEP-P^-1AP｜ =｜P^-1(λE-A)P｜=｜P^-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜。所以A、B的特征多项式相等。 (Ⅱ)令A=[*]，那么｜λE-A｜=λ²=｜λE-B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B=O，从而A=POP^-1=O与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。 (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ₁，…，λ_n，则有 [*] 所以存在可逆矩阵P，Q，使P^-1AP=[*]=Q^-1BQ。因此有(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)=B，矩阵A与B相似。

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

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