n元非齐次线性方程组AX＝β如果有解，则解集合的秩为＝n－r(A)＋1．

admin2018-11-23 72

问题 n元非齐次线性方程组AX＝β如果有解，则解集合的秩为＝n－r(A)＋1．

选项

答案记s＝n－r(A)，则要说明两点．(1)存在AX＝β的s＋1个线性无关的解． (2)AX＝β的s＋2个解一定线性相关． (1)设ξ为(Ⅰ)的一个解，η₁，η₂，…，η_s为导出组的基础解系，则ξ不能用η₁，η₂，…，η_s线性表示，因此ξ，η₁，η₂，…，η_s线性无关．ξ，ξ＋η₁，ξ＋η₂，…，ξ＋η_s是(Ⅰ)的s＋1个解，并且它们等价于ξ，η₁，η₂，…，η_s．于是 r(ξ，ξ＋η₁，ξ＋η₂，…，ξ＋η_s)＝r(ξ，η₁，η₂，…，η_s)＝s＋1，因此ξ，ξ＋η₁，ξ＋η₂，…，ξ＋η_s是(Ⅰ)的s＋1个线性无关的解． (2)AX＝β的任何s＋2个解都可用ξ，η₁，η₂，…，η_S这s＋1向量线性表示，因此一定线性相关．

解析

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考研数学一

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