2. 考研
  3. (2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的 【 】

(2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的 【 】

admin2016-05-30  85
问题 (2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的    【    】
选项 A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案A
解析 记向量组(Ⅰ)：α1＋kα3；α2＋lα3
    向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．
    (Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：
    [α1＋kα3，α2＋lα3]＝[α1，α2，α3]
    当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．
    但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k＝l＝时，(Ⅰ)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．
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考研数学二

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