2. 考研
  3. 设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．

设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．

admin2017-07-26  102
问题 设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．
选项
答案必要性是显然的，下面证明充分性． 设A与B有相同的特征多项式，则A与B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn，因为A、B都是实对称矩阵，故存在适当的正交矩阵Q1，Q2，使得 Q1—1AQ1=[*]=Q2—1BQ2， 故 B=Q2[*]Q2—1=Q2(Q1—1AQ1)Q2—1=(Q1Q2—1)—1A(Q1Q2—1)． 令矩阵P=Q1Q2—1，则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，知P为正交矩阵，且使B=PAP，故充分性得证．
解析
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考研数学三

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