设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．

admin2015-07-24 71

问题设f(x)在[0，1]上有定义，且e^xf(x)与e^－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．

选项

答案对任意的x₀∈[0，1]，因为e^xf(x)与e^－f(x)在[0，1]上单调增加，所以当x＜x₀时，有[*]故f(x₀)≤f(x)≤[*]，令x→[*]，由夹逼定理得f(x₀一0)＝f(x₀)；当x＞x₀时，有[*]故[*] 令x→[*]，由夹逼定理得f(x₀＋0)＝f(x₀)，故f(x₀一0)＝f(x₀＋0)＝f(x₀)，即f(x)在x＝x₀处连续，由x₀的任意性得f(x)在[0，1]上连续．

解析

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考研数学一

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