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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1,x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．
设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1,x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．
admin
2014-10-27
84
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2bx
2
x
3
经过正交变换x=Py化成f=y
2
2
+2y
3
2
，其中x=(x
1
,x
2
，x
3
)
T
，y=(y
1
，y
2
，y
3
)
T
是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．
选项
答案
根据假设条件知，变换后二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)的矩阵分别为[*] 二次型f可以写成f=X
T
AX，f=Y
T
BY． 由于P
T
AP=B，且P为正交矩阵，故P
T
=P
-1
，于是有P
-1
AP=B，即A～B，所以有｜λI—A｜=｜λI—B｜，即[*] 由此可得方程λ
2
一3λ
2
+(2一a
2
一b
2
)λ+(a一b)
2
=λ
2
一3λ
2
+2λ，从而有方程组[*] 解之得a一b=0，为所求的常数．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/AvyR777K
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线性代数（经管类）题库公共课分类
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线性代数（经管类）
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